Ich hatte an der Uni einen Professor, der Schweizer war, also noch nicht mal EU Angehöriger.

Und das wird auch hier bestätigt:

https://www.bundesregierung.de/breg-de/service/jetzt-durchstaaten-de/zugang-zum-oeffent...

Staatsangehörige anderer Länder - Beamte auch ohne deutschen Pass?

Das ist möglich. So können Staatsangehörige eines EU-Mitgliedstaates (EU-Bürger) oder von Island, Liechtenstein, Norwegen (EWR-Bürger) oder der Schweiz Beamte werden, wenn die Aufgaben nicht ausnahmsweise Personen mit deutscher Staatsangehörigkeit vorbehalten sind. Für Tarifbeschäftigte gelten diese Einschränkungen nicht.

Allerdings dürfen Staatsangehörige anderer Staaten (mit Ausnahme der bereits genannten) nur dann eine qualifizierte Berufsausbildung absolvieren, wenn sie einen Aufenthaltstitel haben, der ihnen die Ausübung einer Erwerbstätigkeit erlaubt. Für nähere Informationen zu diesem Thema sollten Sie Kontakt mit der zuständigen Ausländerbehörde aufnehmen und ggf. die Erlaubnis zur Berufsausbildung als Nebenbestimmung eintragen lassen.